prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale di due vettori

Il prodotto vettoriale di due vettori complanari è un vettore perpendicolare al piano determinato dai primi due ed avente per modulo il valore dell’area del parallelogramma determinato dagli stessi.
(vedi
definizione
regola pratica
espressione cartesiana )

Definizione
Si considerino due vettori complanari applicati nel punto O. Si definisce prodotto vettoriale tra due i vettori nell’ordine indicato, il vettore che ha le seguenti proprietà:

	è perpendicolare al piano individuato dai primi due;
	ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell’angolo convesso q da questi formato;
	ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore in senso antiorario dell’angolo q perché si sovrapponga al vettore . In figura il prodotto vettoriale è rappresentato dal vettore . Dunque: (1) e (2) Dobbiamo far notare che per il prodotto vettoriale non vale la proprietà commutativa. Scambiando l’ordine si ottiene un vettore opposto: (3) torna su

Regola pratica (di aiuto) e significato geometrico

Possiamo associare il modulo del prodotto vettoriale di due vettori ad una grandezza geometrica che si ricorda facilmente. Precisamente, si può considerare il parallelogramma avente per lati i due vettori in esame. Indicando q l’angolo convesso formato dai due vettori si riconosce che l’altezza del parallelogramma relativa al lato determinato dal vettore è data dal prodotto (confrontare la figura) per cui l’area del parallelogramma è

coincide pertanto con il modulo del prodotto vettoriale dei vettori . Per ricordare più facilmente il concetto di prodotto vettoriale di due vettori si potrà allora ricordare che il suo modulo coincide con l’area del parallelogramma individuato dai due vettori.
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Espressione cartesiana del prodotto vettoriale

Quando dei due vettori in esame si conoscono le componenti cartesiane in un riferimento nello spazio Oxyz si può determinare l’espressione cartesiana del prodotto vettoriale velocemente sviluppando un determinante del terzo ordine.

Con i vettori espressi nella forma cartesiana

il vettore prodotto vettoriale è dato dal valore del determinante

e quindi, ricordando la regola per lo sviluppo di quest’ultimo,

Osservazione
Il prodotto vettoriale di due vettori è nullo nei seguenti casi:

	Se i due vettori sono paralleli (concordi o discordi) . In questo caso l’angolo q formato ha ampiezza nulla oppure è p radianti e quindi risulta senq = 0 .
	Almeno uno dei due vettori è il vettore nullo.

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Applicazioni: barretta vincolata in un piano orizzontale,
ciclista su strada