Soluzione    
(vedi anche l'APPROFONDIMENTO sul lavoro di una forza variabile)    

1)     La massa m è soggetta ad un moto circolare uniforme, detti  la sua velocità lineare ed w il modulo della velocità angolare, l’accelerazione è centripeta ed è originata dalla forza F, la cui azione viene trasmessa tramite il filo.

Sussistono le seguenti relazioni:

  , ,

 Dai dati forniti ricaviamo allora il modulo della forza F.

2)     Se la forza F sposta il punto di applicazione verso il basso di 12 cm anche il raggio della traiettoria si riduce della stessa misura; la massa continuerà a ruotare di moto circolare uniforme ma ovviamente con altra velocità. Indichiamo con

r_i,w_i, v_i,                le grandezze cinematiche iniziali,

r_f,w_f, v_f ,               le grandezze cinematiche finali.

Osserviamo che la retta di azione della forza F passa per l’asse di rotazione della massa  (che è la retta perpendicolare al piano del tavolo e passante per il centro O), perciò il suo momento è nullo. Questo fatto implica che il momento angolare della massa rimane costante⁽[1]⁾. 

Indicando con L_i ed L_f rispettivamente i moduli del momento angolare iniziale e finale possiamo scrivere:

                                   (2.1)

e sostituendo i valori  si ha

 Calcolo del valore della forza F₂ .

Sappiamo già che il valore della forza è

     (2.2)

Osservazione – Si noti che la forza F₂ necessaria a garantire il moto con la riduzione del raggio è maggiore che nel caso precedente.

 3)     Per calcolare il lavoro che deve compiere la forza F affinché il raggio della traiettoria si riduca alla metà di quello iniziale, quindi a 36cm,  basta applicare il teorema dell’energia cinetica. Infatti non essendoci forze di attrito il lavoro fatto si ritrova sotto forma di aumento dell’energia meccanica disponibile che è solo cinetica e di rotazione.

L’energia di rotazione di un corpo di massa m che ruota intorno ad un asse rispetto al quale la velocità angolare sia w è:

                                                               (3.1)

e quindi la variazione di energia cinetica rotazionale risulta:

       (3.2)

Tenendo ora presente il legame tra le velocità angolari dedotto dalla conservazione del momento angolare

l’espressione della variazione di energia cinetica diventa

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Approfondimento: lavoro di una forza variabile
(applicazione dell’integrale definito)

 Determinare l’espressione della forza F in funzione della distanza x della massa  m dal centro di rotazione e valutare il lavoro compiuto dalla forza quando il raggio della traiettoria passa dal valore R_i al valore R_f.

Soluzione

          Per ridurre il raggio di rotazione della massa m si deve applicare una forza diretta verso il centro O di rotazione. La relazione (2.2) indica che man mano che si riduce la distanza dal centro di rotazione è necessario applicare una forza più intensa per consentire alla massa di mantenersi sulla traiettoria circolare. Pertanto la forza da applicare affinché la massa m passi gradualmente dalla traiettoria di raggio R_i alla traiettoria di raggio R_f<R_i è variabile . Noi siamo interessati a determinare il lavoro compiuto da tale forza.

Il problema è stato già risolto applicando il principio di conservazione del momento angolare; vogliamo ora risolverlo con gli strumenti dell’analisi matematica.

Supponiamo dunque che la massa m sia sottoposta alla forza F che la faccia passare dall’orbita circolare di raggio R_i  a quella di raggio R_f e centro O . Indicando con x il raggio di un’orbita circolare intermedia , la forza necessaria a mantenere in moto circolare uniforme la massa m per la (2.2) può essere espressa in funzione della forza F_i necessaria nell’istante iniziale e della misura x del raggio della traiettoria. Precisamente risulta:

Se il punto di applicazione della forza applicata alla massa m si sposta lungo la direzione radiale dalla distanza x alla distanza x-dx allora il lavoro compiuto dalla forza è

.

Per ottenere il lavoro complessivo compiuto dalla forza si deve calcolare il seguente integrale definito

Osserviamo che il lavoro compiuto dalla forza è positivo perché il suo punto d’applicazione si muove nella direzione dello spostamento; dall’espressione trovata si deduce immediatamente che il valore è positivo perché

Con l’espressione della forza iniziale in funzione del raggio e della velocità angolare

otteniamo ancora

 Come si vede abbiamo ottenuto lo stesso risultato dedotto applicando il teorema dell’energia cinetica.

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