Momento d'inerzia per il cilindro cavo
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Cilindro cavo su piano inclinato

Cilindro Cavo (primo caso) di massa M e raggio r

  I=Mr2

La massa è distribuita omogeneamente  a distanza r dall’asse baricentrale di simmetria  parallelo alle generatrici

Cilindro Cavo (secondo caso) omogeneo  di massa M,  raggio interno R1 e raggio esterno  R2.

   

 

Dimostrazioni delle formule    Primo caso    Secondo caso

Vedi Problema applicativo risolto

Vedi anche  Rotolamento cilindro pieno, Rotolamento sfera

 Dimostrazione (primo caso)

Consideriamo un cilindro omogeneo cavo di raggio r e massa M. Vogliamo provare che il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo alle generatrici del cilindro e passante per il suo baricentro è:

I=Mr2                             (9)

         La dimostrazione dell’affermazione è quasi immediata. Infatti, se immaginiamo di sezionare il cilindro con due piani paralleli tra loro, infinitamente vicini e perpendicolari all’asse baricentrale indicato, si ottiene un anello sottile di massa dm e raggio  r  il cui momento d’inerzia rispetto all’asse fissato è
                  dI=dmr2;
eseguendo la somma di tutti i momenti d'inerzia elementari così ottenuti si ricava il momento d'inerzia del cilindro.

Osservato che in ciascun momento d'inerzia rimane costante il raggio si deduce che il momento d'inerzia del cilindro si ottiene mettendo in evidenza il fattore r2 e moltiplicandolo per la somma di tutte le masse dei singoli anelli. La somma di dette masse elementari è la massa totale M del cilindro, dunque risulta valida la formula (9).
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Dimostrazione (secondo caso)

Cilindro Cavo omogeneo di massa M con cavità interna di  raggio interno R1 e raggio esterno  R2.

   

   Nel caso in cui il corpo sia di forma cilindrica con una cavità interna il cui raggio è minore del raggio della sezione esterna, cioè se lo spessore del cilindro non è trascurabile rispetto al raggio della sua sezione, il valore del momento d’inerzia rispetto all’asse di simmetria baricentrale parallelo alle generatrici del cilindro è diverso da quello determinato per il “cilindro completamente cavo”. Vogliamo provare che se M è la massa del corpo omogeneo, R1, R2 sono rispettivamente il raggio interno ed il raggio esterno di una qualsiasi sezione del solido normale all’asse di simmetria indicato, allora il momento d’inerzia è:

                    (10.1.1)

Osservazione

Prima di passare alla dimostrazione della legge (10.1.1) facciamo notare che le formule per i momenti d’inerzia già viste
                (9)     per il cilindro omogeneo cavo,

    (10)   per il cilindro omogeneo pieno,

si possono ottenere dalla (10.1.1) rispettivamente ponendo, ed
         .
Infatti, nei due casi si ha:

per il cilindro cavo

;
per il cilindro pieno

                          C.V.D.

Dimostrazione della formula.

         La dimostrazione si effettua con lo stesso procedimento seguito per il calcolo del momento d’inerzia del cilindro pieno omogeneo. Anche in questo caso si considera come modello di massa elementare dm quella del “cilindro coassiale di spessore infinitesimo dx” per il quale risulta

  ,

,

 nelle quali i simboli utilizzati hanno lo stesso significato visto in precedenza. La differenza nel calcolo consiste solo negli estremi di integrazione per la variabile x che in questo caso varia dal valore minimo R1 al valore massimo R2.
Pertanto l’operazione matematica da eseguire è allora il calcolo dell’integrale definito

 

 Osserviamo ora che il volume del solido si ottiene moltiplicando l’area della corona circolare di base per l’altezza, quindi

 

e quindi sostituendo nell’espressione ottenuta ricaviamo

                           C.V.D.

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