Momento d'inerzia per l'ANELLO (primo caso)

                     I=Mr²

Nota        (a.1)

Vai al secondo caso

Vogliamo provare la relazione 

I=Mr²                               (a.2)

Consideriamo un elemento dell’anello di lunghezza dl; a questo corrisponde un angolo al centro della circonferenza di ampiezza dq e la relazione esistente tra lunghezza dl, ampiezza dq  e misura del raggio è

,             (a.3)

essendo dq espressa in radianti.
La massa dm concentrata nel tratto elementare dell’anello è:
       (a.4)

Possiamo esprimere il momento d’inerzia della massa dm rispetto all’asse baricentrale considerato nella forma seguente

         (a.5)

Il momento d’inerzia complessivo dell’anello rispetto al suddetto asse è dato dalla somma dei momenti d’inerzia delle masse dei singoli elementi di anello in cui questo può pensarsi suddiviso. L’operazione di somma si realizza calcolando l’integrale definito al variare dell’angolo q nell’intervallo [0;2p]. Quindi

    Sia P un punto dell’anello e consideriamo un arco elementare centrato in P. Indichiamo con dl  e dm rispettivamente la lunghezza dell’arco e la massa elementare in esso concentrata. Detto O il centro dell’anello, assumiamo la semiretta OA come origine per la misura dell’angolo . Sia ancora H la proiezione ortogonale di P sulla semiretta OA.

Alla lunghezza dl dell’arco di anello corrisponde l’angolo al centro di ampiezza dq e sussiste la relazione

                       (a.3)

tra lunghezza dell’arco, raggio ed angolo al centro, ed in virtù della definizione di densità lineare anche la relazione

.         (a.4)

Per calcolare il momento d’inerzia della massa dm rispetto all’asse a occorre trovare la distanza da questo del punto P in cui supponiamo concentrata la massa dm. Poiché si ha evidentemente

,

per il momento d’inerzia della massa dm, possiamo scrivere l’espressione

Osserviamo ora che il momento d’inerzia della quarta parte dell’anello compresa tra i punti A e B (vedi figura) è data dall’integrale definito

e che per ovvii motivi di simmetria il momento d’inerzia complessivo dell’anello è 4I₁. Si ha pertanto:

Possiamo dare un’altra forma al risultato trovato eliminando il simbolo l della densità lineare e facendo invece comparire la massa dell’anello.

Dalla (a.1) ricaviamo